Outros autores medievais:
Alcuino de York
Problemas 1 - 10
História da Matemática na Época Medieval (Europa)
Problemas para estimular os
jovens
(problemas 1 - 10)
Alcuino de York
(735 - 804)
Problema 1
Um caracol foi convidado
por uma andorinha para almoçar a uma légua [leuca] de distância. No
entanto, não conseguia andar mais depressa do que uma polegada por dia.
Quantos [anos e] dias leva o caracol a chegar a esse almoço?
Solução
Numa
légua há 1500 passus 1. 7500 pés
[iguala] 90 000 polegadas. Existem tantos dias como polegadas, que fazem,
246 anos e 210 dias.
Problema 2
Um
certo homem caminhando numa rua viu outros homens caminhando na sua direcção,
e disse-lhes .”Se houvesse tantos [mais] como os que vós sóis agora, e
depois metade de metade destes [fossem adicionados], e depois
metade deste número [fosse adicionado], e de novo metade [desta]
metade, e comigo, vós serão 100 [homens].”
Quantos homens viu o homem?
Solução
Aqueles
que o homem viu eram 36, dobra este número e serão 72. Metade da metade
destes são 18, e metade deste número faz 9. Por isso, diz o seguinte: 72
e 18 fazem 90. Adicionando 9 a estes faz 99. Incluindo o homem terás 200.
Problema 4
Um certo homem viu alguns
cavalos a pastar num campo e disse com invejosa: Ó, se fossem meus, e se
fossem duplicados em número, e se metade da metade destes [fossem
adicionados]. Teria, certamente, 100 cavalos. Quantos cavalos é que o
homem viu, inicialmente, a pastar?
Havia
40 cavalos a pastar, dobra estes e fazes 80. Metade da metade destes, i.
e. 20, se adicionados fazem 100.
Problema 5
Um
certo comprador disse: “Quero comparar 100 porcos com 100 denarii
de tal forma que um porco grande seja comprado por 10 denarii; uma
porca por cinco denarii; e duas porcas pequenas por um denarii”.
Quantos porcos adultos, porcas e pequenas porcas haverá de tal forma que
não haja nem a mais nem a menos de ambos [porcos e denarii]?
Solução
Compre nove porcos e uma
porca por 55 denarii, e 80 pequenas porcas com 40; o que dará 90
porcos. Com os restantes cinco denarii, compre dez porcas pequenas,
e terá 100 porcos por 100 denarii.
(a partir de tradução de Peter Burkholder)
Problema 6
Dois mercadores, tendo em
comum 100 solidi, compraram alguns porcos com o dinheiro. Compraram
à razão de cinco porcos por dois solidi, com a intenção de os
engordar e voltar a vender, fazendo algum lucro. Mas quando descobriram
que não era a altura certa do ano para engordar porcos, e que não eram
capazes de os alimentar durante o Inverno, tentaram vende-los de novo para
fazer algum lucro. Mas não conseguiram, porque só conseguiram vende-los
pelo preço que os tinham comprado ... Quando perceberam isso, disseram um
ao outro “ vamos dividi-los”. Ao dividi-los, e ao vende-los à mesma
razão que os compraram, fizeram lucro. Quantos porcos eram, e como é que
os dividiram de forma a terem lucro, o que não poderia ter acontecido ao
vende-los todos de uma vez?
(citado
por David Wells)
Solução
Havia
250 porcos para comprar. Estes foram comprados por 100 solidi; como
se diz em cima, ao preço de dois solidi cada cinco porcos. Porque
dizes “50 vezes cinco” ou “cinco vezes 50”, chagas aos 250. Um
homem vendeu três porcos inferiores ao preço de um solidi; o
outro um solidi por dois porcos de melhor qualidade. Assim aquele
que vendeu os porcos de qualidade inferior obteve 40 solidi por 120
porcos, enquanto que o que vendeu os porcos de melhor qualidade trouxe 60 solidi.
Isto é, porque foi sempre 30 porcos inferiores por 10 solidi e 30
porcos melhores por 10 solidi. Para cada um , sobraram cinco
porcos, a partir dos quais podiam lucrar quatro solidi e dois denarii.
Problema 7
Há
um prato pesando 30 libras ou 600 solidos. Nele há ouro, prata, bronze e
estanho. Tem três vezes tanta prata como ouro, três vezes tanto bronze
como prata e três vezes tanto estanho como bronze.
Quanto pesa cada tipo de metal?
Solução
O
ouro pesa nove onças. A prata pesa o triplo, i.e. duas libras e três onças.
O bronze pesa três vezes duas libras e três onças, i.e. seis libras e
nove onças. O estanho pesa três vezes seis libras e nove onças, i.e. 20
libras e três onças. Nove onças e duas libras, três onças e seis
libras, nove onças e 20 libras todas e três libras todas juntas fazem 30
libras.
(a
partir de tradução de
Uma
cuba com 100 metreta 2 de capacidade é
cheia através de três canos. Um terço da sua capacidade mais 6 modii
entra por um dos canos; um terço da sua capacidade entra através de
outro cano; mas apenas um sexto da sua capacidade entra pelo terceiro
cano. Quantos sextarii entram por cada cano?
(citado
por Victor Katz)
Solução
3600 sextarii correm
através do primeiro cano, 2400 através do segundo e 1200 através do
terceiro.
Problema 9
Tenho
material para mantos que têm 100 cúbitos de comprimento e 80 cúbitos de
largura. Quero fazer mantos mais pequenos a partir de peças que tenham
cinco cúbitos de comprimento e quatro cúbitos de largura.
Quantos mantos pequenos posso fazer?
Solução
A oitava parte de 400 é
cinco e a centesimal parte, quarto. Por isso, ou mede 80 [comprimentos] de
cinco [cúbitos], ou 100 de quatro, chegando sempre a 400. Haverá tantos
mantos.
Problema 10
Tenho
uma única peça de linho com 60 cúbitos de comprimento e 40 cúbitos de
largura. Quero cortá-la em pequenos pedaços, cada um tendo seis cúbitos
de comprimento e 4 cúbitos de largura, de tal forma que cada peça seja
ampla para fazer uma túnica.
Quantas
túnicas podem ser feitas [da peça
grande]?
Solução
Um
décimo de 60 é seis, e a décima parte de 40 é quarto. Por isso, ou
tira dez vezes a décima parte de 60 [cúbitos] ou dez vezes a décima
parte de 40, e obterá 100 bocados de seis cúbitos de comprimento e
quatro cúbitos de largura.
(a
partir de tradução de
Notas:
1- 1 passu = 5 pés
2 - 1 metreta = 72 sextrarii e 1 modius
= 200 sextrarii
Última actualização 22-09-2002