História da Matemática - história dos prblemas

Eis uma versão do problema retirado de um aritmética portuguesa datada de 1555, Tratado da Arte da Aritmética, de Bento Fernandes.

15 Mouros e 15 Cristãos

Quinze cristãos navegando pelo mar toparam uma galé de mouros que trazia 15 mouros e pelejaram tanto, de uma parte e da outra, que se não puderam vencer e abalroaram os mouros e entraram dentro. E quando se acharam tantos de uma parte como da outra vieram a partido que se pusessem todos numa roda os mouros entre os cristãos e que contassem de 1 a 9. E em quem acertasse, quer fosse cristão ou mouro, o lançassem ao mar como chegasse a 9. E assim fossem contando, sempre por diante, até chegar a 9 não tornando para trás. E se acertasse de cair nos cristãos os deitassem ao mar e os mouros levassem a presa e acertando nos mouros os deitassem ao mar e os cristãos levassem a presa.
Pergunto: de que modo se devem pôr os cristãos e os mouros entre eles para que os mouros se deitem todos ao mar e os cristãos fiquem com a vitória?

E por que entre os cristãos havia um homem experimentado na conta, os pôs em ordem de modo que os mouros foram todos lançados ao mar e ficaram os cristãos vivos e com vencimento. E a maneira como se fez sabereis agora: primeiro põe 4 cristãos e depois 5 mouros e depois 2 cristãos e logo 1 mouro; e adiante 3 cristãos e depois 1 mouro; depois 1 cristão e depois 2 mouros e adiante 2 cristãos e logo 3 mouros; e depois 1 cristão e depois 2 mouros; e depois 2 cristãos e adiante 1 mouro. E assim fazem por todos 30, entre cristãos e mouros, e postos assim em ordem, em roda, como está dito, começando a contar primeiro dos 4 cristãos por diante até chegar a 9, contando adiante sempre sem tornar atrás até chegar a outros 9 e como chegar a 9, lançá-lo ao mar...
	Diagrama do manuscrito do francês Nicolas Chuquet, 1484

Outras versões do problema

Este problema envolve determinar a posição inicial das pessoas que permanecem na roda, inicialmente com um determinado número N de pessoas, depois de algumas terem sido eliminadas através de um processo de contagem de m em m, que tem início numa determinada posição.
O número de pessoas, inicialmente na roda, e o processo de contagem variou ao longo do tempo e de autor para autor, assim como o número de sobreviventes no final da contagem, mas, essencialmente, as versões mais comuns são as seguintes:

A primeira versão parece ser a mais antiga e Smith intitula este tipo de problemas por Cristãos e Turcos, a segunda que aparece em muitos autores Japoneses, não se sabe ao certo a sua origem, mas parece ter sido Cardano, em 1539, que associou o problema pela primeira vez a Josephus Flavius.

Personagens e culturas

Maior parte dos autores que mencionam este problema dão exactamente a versão de Bento Fernandes transcrita em cima. No entanto, as personagens da história nem sempre são as mesmas.

A versão mais comum, durante a Idade Média na Europa envolve 15 cristãos e 15 turcos durante uma tempestade, mas é vulgar os turcos serem substituídos por sarracenos, mouros (no caso português) e judeus, no final, como seria de esperar, os cristãos sobrevivem.

Fillipo Calandri, em cerca de 1500, fornece uma versão com duas ordens religiosas, os Franciscanos e os Calmodolesos numa peregrinação a São Sepulcro, como se pode ver na imagem, é um franciscano que comanda a distribuição, donde de pode deduzir qual o grupo de sobreviventes!

Quando a versão é fornecida por muçulmanos, como por exemplo al-Safadi, cerca de 1370, são os infiéis, que no final, são totalmente dizimados, e os muçulmanos salvos.

No texto, do judeu espanhol ben-Ezra, Ta'hbula de cerca de 1150, ao que parece, a personagem que faz a distribuição é o próprio ben-Erza, distribuindo os 15 alunos e os restantes 15 passageiros do barco, de tal forma que os alunos são salvos. Ao que se sabe a versão de ben-Ezra é a primeira a história aparece contada num barco.

Numa história indiana 15 homens bons são salvos e 15 ladrões são dizimados.

Grupos e contagens

Embora maior parte dos autores deu a versão envolvendo dois grupos de 15 personagens, cada, e em que um dos grupos é eliminado após uma contagem de 9 em 9. Muitos referem outras versões.
Tartaglia (1499 - 1557), por exemplo, dá exemplos com 15 judeus e 15 cristãos, contados desde 3 a 3 até 12 a 12. A imagem ao lado refere-se ao diagrama apresentado por Buteo, em 1559, para a resolução, dos 15 judeus e 15 cristãos contados de 10 em 10.
Chuquet, no seu Triparty, de 1484, generaliza dizendo que

podemos ter grupos de 18 cristãos e 18 judeus, ou 24 cristãos e 24 judeus, ou qualquer outro número de pessoas, contados de 10 em 10 ou de 11 em 11 ou como quisermos.

Pacioli (1445 - 1517), em De Viribus quantitatis, fornece três versões com apenas 2 cristãos. Uma, apresentada ao lado, com 30 judeus, contados de 9 em 9, salvando-se, no final, os cristãos. E ainda, os dois exemplos seguintes:


2 cristãos e 18 judeus, contados de 7 em 7	2 cristãos e 30 judeus, contados de 7 em 7.

O problema também aparece só se salvando no final uma das pessoas. Provavelmente o primeiro matemático a introduzir esta versão foi Girolamo Cardano, em 1539. Euler, no seu livro de 1775, Observationes circa novum et singulare progressionum genus, parece ter sido o primeiro a considerar um algoritmo geral para o caso de um único sobrevivente.

Na seguinte página poderá jogar este problema, escolhendo um número de pessoas até 50 e a contagem que pretender:

Ou fazer o download de um programa, que lhe permite saber a ordem porque as pessoas vão sendo eliminadas em:

O problema pode ser generalizado a qualquer número de pessoas, havendo no final um qualquer número de sobreviventes e efectuando-se a contagem que se pretender!

Resolução e mnemónicas

Caso não se pretenda um algoritmo que permita determinar a posição em que se é eliminado, o problema é fácil de resolver. Ozanam, 1778, sugere a seguinte resolução aplicada ao caso em que se quer eliminar 10 pessoas de um total de 40, contando de 12 em 12.

Colocam-se em círculos 40 «zeros» e começando pelo primeiro, marca-se no décimo segundo uma cruz, continuamos a contar até 12 e marca-se igualmente uma cruz, e assim sucessivamente, tendo em atenção que se deve passar por cima dos que já estão marcados, ..., e então contando a posição [que os marcados] ocupam, começando pelo primeiro, conhecemos facilmente aqueles sobre os quais caí, necessariamente, a contagem de 12 em 12.

Embora o problema seja de muito fácil resolução, muitos autores, a partir do século XII, desenvolveram mnemónicas para se saber, como dispor os «bons» e «maus». A mais comum para o problema dos 15 cristãos e 15 turcos, contados de 9 em 9, dada, por exemplo, por Chuquet é:

Em que a = 1, e = 2, i = 3, o = 4, u = 5
e que nos indica que se deve começar por 4 cristãos, seguidos de 5 turcos (judeus), depois 2 cristãos, ...

As duas mnemónicas seguintes têm a mesma equivalência entre as vogais e os algarismos: