Problemas:
Maria
e as maçãs
Medindo
com vasilhas
História da Matemática - História dos Problemas
Dividindo o vinho
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Em Colónia havia três irmãos [monges], que tinham nove pipas de vinho. A primeira pipa tinha apenas 1 “canada” de vinho, a segunda 2, a terceira 3, a quarta 4, a quinta 5, a sexta 6, a sétima 7, a oitava 8 e a nona 9. Divide o vinho [e as pipas] igualmente entre os três sem misturar o vinho das pipas. |
Esta versão do problema
aparece no século XIII, pela mão do abade alemão Albert von Strade.
Sistematizando as soluções em coluna, obtemos o seguinte
quadrado mágico de ordem 3:
| 8 | 1 | 6 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 9 | 2 |
As primeiras versões escritas
As primeiras versões escritas do problema aparecem no manuscrito do inglês Alcuino de York do séc. IX (problemas 12 e 51):
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Um certo pai morreu e deixou como herança para os seus três filhos
30 vasilhas de vidro, das quais 10 estavam cheias de óleo; outras 10 meias
cheias, enquanto que outras 10 estavam vazias. |
Neste mesmo manuscrito encontra-se ainda outra versão do problema:
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Um certo pai estando a morrer, deixou quatro pequenas pipas de vinho para os seus quatro filhos. Na primeira pipa, havia 40 modia [de vinho]; na segunda, 30; na terceira, 20; e na quarta 10. Chamou o seu testamenteiro e disse: “Divide estas quatro pipas contendo vinho pelos meus filhos de tal forma que cada um receba uma porção igual de vinho e de pipas.” Diz, o que pode, como é que as pipas foram divididas pelos filhos, recebendo cada um uma mesma quantidade de vinho? |
Outras versões do problema
Tartaglia, no seu General Trattato di numeri e
misure (1556), introduz dois novos problemas:
21 vasilhas, 7 cheias, 7 meias cheias e 7
vazias, para serem divididas, tanto o conteúdo como as vasilhas, por 3 pessoas;
27 vasilhas, 9 cheias, 9 meias cheias e 9
vazias, para serem divididas, tanto o conteúdo como as vasilhas, por 3 pessoas.
Bachet de Méziriac, em 1624, no seu livro Problèmes
Plaisants et Délectables qui se font par les nombres, introduz o problema:
24 vasilhas, 8 cheias, 8 meias cheias e 8
vazias, para serem divididas, tanto o conteúdo como as vasilhas, por 4 pessoas.
Uma
possível generalização do problema é descobrir uma solução geral para:
3n recipientes, n cheios, n meio cheios e
n
vazios, como dividi-los, assim como ao seu conteúdo por 3 pessoas.
Em 1942, Kraitchik no seu livro Mathematical Recreations apresentou o seguinte problema:
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Um lavrador deixou 45 pipas de vinho, 9 das quais estavam cheias, 9 só estavam ¾ cheias, 9 estavam meias cheias, 9 só estavam ¼ cheias e 9 estavam vazias. Os seus cinco sobrinhos queriam dividir, entre eles, o vinho e as pipas sem mudar o vinho de pipa para pipa, de tal forma que cada um recebesse a mesma quantidade de vinho e o mesmo número de pipas e, além disso, que cada um deles recebesse pelo menos um tipo de pipa, e que nenhum deles recebesse o mesmo número de todos os tipos de pipas. |
Última actualização 24-09-2002