Problemas:
Carteiros
Dividindo o vinho
Maria
e as maçãs
Medindo
com vasilhas
História da Matemática - História dos Problemas
Carteiros
Eis uma versão do problema retirado de um aritmética portuguesa, impressa no Porto e datada de 1555, Tratado da Arte da Aritmética, de Bento Fernandes.
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A raposa e o galgo
Uma
raposa vai diante de um galgo 100 braças e, cada vez que a raposa
faz 4 braças. o galgo faz 5. (Bento
Fernandes, fol 100 v) |
Uma
versão deste problema em que um cão persegue uma lebre, mas em que se
pode variar a velocidade com que cada um se desloca, e a sua distância de
partida, pode ser trabalhado a partir do programa de computador Jogo
de Funções.
A primeira versão escrita do problema
No capítulo VI do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C., aparecem, pelo que se sabe, pela primeira vez algumas versões do problema:
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Um bom caminhante cobre 100 bu, enquanto que um mau caminhante 60 bu. Suponha que o último vai à frente do primeiro 100 bu e que este o apanha. Diz: em quantos bu irão os dois lado a lado? |
O problema nas diferentes civilizações
Esta versão mais simples do problema não aparece na Grécia, mas em diversas outras civilizações, e parece ter entrado na Europa via árabes.
Índia
No manuscrito de Bakhshali de cerca do século III d.C., aparecem diferentes versões deste problema:
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Uma pessoa vai a 5 yojanas ao dia. Quando já tinha andado durante sete dias, a segunda pessoa, cuja velocidade é 9 yojanas por dia, parte. Em quantos dias é que a segunda pessoa apanha a primeira? |
No trabalho do matemático Sridhara, do século IX, aparece também este problema. Eis, uma adaptação da sua versão:
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Dois viajantes partem ao mesmo tempo para um destino a 100 km de distância. As suas velocidades são, respectivamente, 2 km/h e 8 km/h. O mais veloz dos dois ao voltar encontra o mais lento. Quando é que os dois se encontram? |
Na China, o mesmo tipo de problema volta a aparecer no século V, no Manual Aritmético foi escrito por Zhang Quijian.
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Uma estrada circular à volta de uma montanha tem 325 li de comprimento. Três pessoas A, B e C vão ao longo da estrada. A caminha a 150 li por dia, B a 120 li por dia e C a 90 li por dia. Se começarem todas do mesmo ponto, ao fim de quantos dias se voltarão a encontrar? |
O problema aparece a primeira vez na Europa no manuscrito, do século X, de Alcuino de York:
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Há um terreno com 150 pés de comprimento. Numa extremidade está um cão, no outro uma lebre. O cão avança para caçar a lebre. Mas enquanto o cão avança nove pés por passo, a lebre anda apenas sete. Diz, aquele que quer, quantos pés o cão faz na perseguição da lebre em fuga até esta ser apanhada? |
Maior parte das aritméticas europeias medievais e da época renascentista e mesmo os manuais escolares do século XX continham versões destes problema.
As versões do problema
Smith considera estes problemas com um cunho bastante real, uma vez que é
comum a situação em que alcançamos, ou nos cruzamos com um amigo numa
caminhada.
É evidente que, neste problema, a situação real é matematizada,
considerando-se, normalmente, o caminho seguido pelos personagens o
mesmo, e sendo, pelo menos implicitamente, normalmente, realizado em
linha recta.
Como
se pode ver pelos exemplos apresentados, existem inúmeras versões deste
problema.
O problema envolve normalmente duas personagens que se deslocam:
Nas situações apresentadas até agora pede-se ao fim de que espaço as duas personagens se encontram, mas noutras variantes é pedido a velocidade de uma das personagens, como nos dois exemplos que se seguem.
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Uma lebre corre 100 bu à frente de um cão. O cão persegue a lebre durante 250 bu, mas a lebre ainda está 30 bu à sua frente. Em quantos bu o cão apanhará a lebre? em Nove capítulos da Arte Matemática (séc. I a.C.) |
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Um
carteiro parte de Madrid para Roma e não se sabe quantas léguas
caminha por dia; mas sabe-se que outro carteiro partiu 4 dias
depois da mesma vila de Madrid, e foi pelo mesmo caminho, para
Roma, o qual caminha 20 léguas por dia. E alcançou o primeiro
correio em 6 dias. em Arithmetica pratica de Jerónimo Cortés (1604.) |
O seguinte problema é a primeiro vez que esta versão aparece e encontra-se, também, no tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.
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A parte de Chang’na para Qi levando 5 dias. B parte de Qi para Chang’na levando 7 dias. Supondo que B parte 2 dias antes de A. Diz: quando é que se encontrarão? |
Os dois exemplos seguintes são retirados de aritméticas portuguesas do século XVI.
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Um homem vai de uma cidade para outra em 6 dias e outro vem em contrário e da outra cidade para aquela donde partiu o outro em 8 dias. Ora eu demando, em quantos dias se encontraram estes homens no caminho e a quantas horas, sendo o dia de 15 horas? (Gaspar Nicolas, fol 55 v) |
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É uma árvore que tem de altura 100 braças e em cima da dita árvore está um galo que vem descendo para baixo, e em cada dia desce 3 braças continuamente, e em baixo está uma raposa que vai para cima e cada dia sobe uma braça. Pergunto, em quantos dias se juntaram o galo e a raposa, continuando ambos o seu caminho? (Bento
Fernandes, fol 101 v) |
Se originalmente o problema pode ter tido um cariz real, veja-se como esta versão é em completamente absurda, o que aliás em muito comum na evolução de alguns problemas.
Também neste caso a primeira versão é do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.
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Um convidado que cavalga a 300 li por dia. O convidado deixa as suas roupas para trás. O dono da casa descobre-as após 1/3 de dia, e saí com as roupas. Assim que alcança o convidado, o dono da casa dá-lhe as suas roupas e regressa a casa em ¾ de dia. Supondo que cavalga sem parar. Diz: quanto é que ele consegue andar num dia? |
Também neste caso as primeiras versão aparecem no capítulo VII do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.
Para conhecer alguns exemplos deste tipo de problemas veja a página «Carteiros 2».
A primeira versão deste problema, que encontrei, foi a do chinês Zhang Quijian, do século V, já apresentada acima.
O exemplo seguinte foi retirado da aritmética do matemático espanhol Joan Ventallol, publicada em 1521.
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Dois
homens correm ao redor de uma cidade redonda e muralhada. Os dois
começam a correr ao mesmo tempo e do mesmo lugar. Um demora 4
horas a dar a volta e o outro necessita de 5+1/2 horas. Os dois
correm até que o mais rápido alcança o outro. |
As personagens do problema
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O
problema ficou conhecido como o problema dos carteiros, porque nalgumas
versões dos autores medievais e renascentistas, as personagens são carteiros que levam mensagens de uma terra para outra. Tal
deve-se ao facto de nessa época, como refere Smith, a comunicação
comercial ser feita a través de carteiros que viajavam regularmente de
uma cidade para a outra. |
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Köbel, 1514 |
Este novo contexto não se limita exclusivamente
a "perseguições", mas também a encontros, uma vez que os
carteiros podiam viajar tanto no mesmo sentido como em sentidos
contrários.
A versão do problema envolvendo carteiros parece ser de origem italiana,
uma vez que maior parte dos autores de outras nacionalidade referem-se
normalmente a cidades italianas nos seus problemas.
Eis, um exemplo retirado da Arithmetica pratica do matemático espanhol Jerónimo Cortés, publicada em 1604.
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No
primeiro dia de Abril partiram dois carteiros, um de Valência a
Sevilha, e o outro de Sevilha a Valência, caminho de 84 léguas.
O que parte de Valência caminha cada dia 10 léguas e o que parte
de Sevilha caminha por dia 14 léguas. |
No entanto, noutras versões encontramos outras personagens:
O mais comum são os problemas em que um cão persegue uma raposa ou uma lebre, que aparecem pela primeira do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C. Outros exemplos, além daqueles que já foram aqui referidos são:
No tratado dell’abacho de Paolo Damogari, de 1339:
A raposa está a uma distância de 40 dos seus passos do cão, 5 passos do cão correspondem a 3 da raposa.
Noutro exemplo o cão e uma lebre estão a uma distância de 100 pés, enquanto o cão anda 10 pés a lebre anda 7.
- No manuscrito de Muscarello de 1478:
A lebre e o cão estão a uma distância de 70 pés. O passo do cão é 7/5 do passo da lebre.Página do manuscrito de Muscarello
No trabalho de Fillipo Calandri, de 1491:
A lebre tem um avanço em relação ao cão de 3000 passos, 5 passos da lebre correspondem a 8 passos do cão.Na Suma de Pacioli, de 1494:
A lebre tem um avanço em relação ao cão de 60 passos, e cada vez que a lebre faz 5 passos o cão faz 7. Aparecem problemas com outros animais, tais como, aves, formigas, ratazanas, ...
O primeiro problema, que se segue, é retirado de uma aritmética de 1485, publicada em Florença e atribuída a Calandri, o segundo é retirado da Aritmética do espanhol Joan Ventallol de 1521.Pier Maria Calandri, 1485
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Uma nau vai de Marselha para Liverno em 7 dias uma outra de Liverno para Marselha em 4 dias. Após quantos dias em que se cruzam? |
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Uma
nau sai de Nápoles para Barcelona e faz a sua viagem em 30 dias.
Outra sai de Barcelona para Nápoles e faz a viagem em 20 dias.
Saem as duas ao mesmo tempo. |
Última actualização 30-03-2007