Problemas:
Maria
e as maçãs
Medindo
com vasilhas
História da Matemática - História dos Problemas
Maria e as maçãs
Eis uma versão do problema retirado de um aritmética portuguesa datada de 1555, Tratado da Arte da Aritmética, de Bento Fernandes.
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O pomar de maçãs com três guardas
Um gentil-homem
anda de amores com uma dama e não pode haver dela seu desejo. E a
dama lhe pede 9 maçãs do jardim del-Rei e que aceitará o seu
serviço. E o gentil homem se foi ao jardim e achou nele 3 portas
e em cada porta está um porteiro e o primeiro porteiro lhe disse
que entrasse, porém, que lhe havia de dar a metade de todas as
maçãs que trouxesse e mais 2 maçãs. O segundo porteiro lhe
disse que entrasse e que lhe havia de dar a metade das maçãs que
trouxesse e mais 3 maçãs. O terceiro porteiro lhe disse
também que entrasse e que lhe havia de dar a metade das maçãs
que trouxesse menos 4 maçãs. (Bento
Fernandes, fol 103 e 103 v) |
Outras versões do problema
Uma outra versão do problema, muito comum na Idade Medieval e nas aritméticas europeias dos séculos XV e XVI é a de um mercador que vai de feira em feira, percorrendo três feiras onde, de cada vez, duplica o seu dinheiro e gasta parte do seu dinheiro. Eis uma das duas versões, com este contexto, do livro do português Gaspar Nicolas (1519):
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A viagem do mercador
Um
homem
foi de Lisboa a Belém e levava dinheiro, não sabemos quanto, e
na venda de Santos dobrou o dinheiro que levava e gastou 10 e
ficou-lhe ainda dinheiro e em Alcântara dobrou o dinheiro que
levava e gastou 10 e ficou-lhe ainda dinheiro, e em Belém
dobrou o dinheiro que levava e gastou 12 e ficaram-lhe 3
reais. (Gaspar
Nicolas, fol 30) |
Neste mesmo livro encontra-se ainda outra versão do problema, com um contexto diferente do anterior:
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Digo
que um
homem
entrou numa Igreja e não sabemos quanto dinheiro levava. Disse ao
primeiro santo que lhe dobrasse o dinheiro que levava e lhe daria
12 reais e o santo lho dobrou. Deu-lhe 12 reais e ficou-lhe ainda
dinheiro. E foi-se ao outro santo que lhe dobrasse o dinheiro com que
ficou e que lhe daria 12 reais. O santo lho dobrou e o homem
deu-lhe 12 reais e ficou-lhe ainda dinheiro. E foi-se ao outro
santo que lhe dobrasse o dinheiro com que ficou e que lhe daria 12
reais. O santo lho dobrou e o homem deu-lhe 12 reais e não lhe
ficou nada. (Gaspar Nicolas, fol 29) |
A primeira versão do problema
A primeira versão deste problema parece ter aparecido na China e relaciona-se com tributos alfandegários. Dois problemas sobre tributos alfandegários pagos na passagens por 3 alfândegas e por 5 alfândegas aparecem no capítulo VI (problemas 27 e 28) do livro Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.
O problema nas diferentes civilizações
Grécia
O papiro de Akhmin (cerca do século VI-XI), contém uma versão deste problema sobre um tesouro.
O matemático hindu Mahavira, do século IX, no seu tratado Ganita-Sâra-Sangraha (problema 96), apresenta também uma versão deste problema.
Mais tarde, no século XII, Bhaskara II, no seu livro Lilavati, apresenta uma versão semelhante com um viajante numa peregrinação (verso 58).
O matemático arménio, Anania de Shirak (século VII), apresenta o seguinte problema, onde um mercador passa por 3 cidades:
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Um mercador passa por três cidades. Na primeira cidade paga metade e um terço dos seus bens de taxa. Na segunda cidade paga metade e um terço do que sobra dos seus bens. Na terceira cidade paga, de novo, metade e um terço dos seus bens. Por fim sobram-lhe 11 moedas. Quanto são os seus bens originais. (citado por Shen Kangshen et al.) |
Maior parte das aritméticas europeias medievais e da época renascentista e mesmo nos manuais escolares do século XX continham versões destes problema.
Neste sítio poderá ler as versões de:
Abraham ben Erza (matemático judeu, que viveu em Espanha, do século XII);
Fibonacci (matemático italiano do século XII);
Chuquet (matemático francês, do século XV);
Juan Pérez de Moya (matemático espanhol, do século XVI);
Tunstall (matemático inglês, do século XVI);
Jerónimo Cortés (matemático espanhol do século XVII).
Última actualização 22-11-2002