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História da Matemática
Regra de três
A regra
de três (ou de três simples) tem origem na Índia, alguns
autores vêem-na descrita, pelo menos rudimentarmente, nos versos hindus Vedanga
Jyotisa, para uns do período de 1370 - 1150 a.C., para
outros de 500 a.C. (Sarma, 2002):
O
resultado conhecido deve ser multiplicado pela quantidade
requerida e dividido pela quantidade para a
qual o resultado conhecido é dado.
No entanto, o seu desenvolvimento,
na Índias, só se dá a partir do século V d.C.
A regra era conhecida na China no século I d.C. e foi introduzida
no mundo árabe por volta do século VIII. Na Europa da Idade
Média era conhecida por regra de ouro, onde, ela ou
as regras de ela derivadas, foram utilizadas para resolver todo
o tipo de problemas derivados da actividade comercial. Era
de tal forma importante, que todos os
mercadores da alta Idade Média a utilizavam e ocupava 20%
dos livros de aritmética dos mercadores de então (Smith,
1926, 1958).
O facto de ela ter sido pela primeira vez enunciada na Índia
não quer dizer que outras civilizações, como a Egípcia ou a
Babilónica não a tenham utilizado na resolução de problemas,
mas a sua matemática não envolvia a explicitação de regras
apenas a resolução de problemas sem nenhuma explicação
teórica ou enunciação de processos para os resolver.
A regra de três na
China
A regra de três tem um papel importante na matemática
chinesa, ela aparece pela primeira vez no século I d.C., no
texto Nove Capítulos da Arte Matemática, no capítulo 2, com
a designação de regra de Jinyou, que significa
literalmente "agora dados". A regra é descrita da seguinte
forma:
Toma o número
dado para multiplicar pela razão pedida. O produto é o
dividendo. A razão dada é o divisor. Divida.
A regra de três na
Índia
Não
se sabe ao certo se os conhecimentos chineses sobre a regra
de três simples viajaram, ou não, até à Índia no início da
era cristã, o que é certo é que ela foi desenvolvida e
utilizada pelos matemáticos hindus cerca de quase um milénio
após ter aparecido pela primeira vez nos Vedanga
Jyotisa.
No livro
Aryabhatiya,
do ano 499, Aryabhata escreveu
sobre a regra de três, mas também sobre a regra de cinco, de
sete,
e outros
casos especiais da regra de três (Sarma, 2002). Aryabhata
descreve a regra de três, no verso 26, da forma seguinte:
Agora tendo
multiplicado a quantidade conhecida como fruto, ligada
pela regra de três (trairasika), pela quantidade
conhecida que se requer, o resultado obtido deve ser
dividido pelo argumento. [O que se obtém] desta
[operação] é o fruto correspondente ao que se requer
(Sarma,
2002).
Desta descrição da regra conclui-se que o seu nome vem
originalmente da Índia. A designação da regra: Traisasika,
fornecida por Aryabatha, significa aquilo que consiste em
três quantidades numéricas ou termos (Bronkhorst, 2001;
Sarma,
2002).
No comentário do livro de Aryabhata, Bhaskara (c.
600 - c. 680) refere
que a
primeira coisa a fazer, antes de efectuar os cálculos, é
colocar por ordem as três quantidades:
Ao
resolver problemas relacionados com a Regra de Três,
quando os números são escritos, o sábio deve saber que
as duas quantidades iguais devem ser escritas em
primeiro e em último lugar, e a quantidade diferente no
meio.
Desta regra estabelecida por Bhaskara para a escrita das
quantidades e da própria regra de três enunciada por
Aryabhata pode-se deduzir o significado da regra de três
para os autores hindus.
A regra
consiste em alinhar sequencialmente as três quantidades dadas (A®B®C)
e depois proceder inversamente, multiplicando o último pelo
termo do meio e dividindo pelo primeiro (C x B : A) (Sarma,
2002).
Seria
mais lógico começar por dividir B por A de forma a obter a
razão unitária, mas tal poderia conduzir a uma fracção. Ora
o cálculo com fracções é mais complexo do que o cálculo com
números inteiros, e ao procederem desta forma, ou seja, ao
multiplicarem primeiro, a hipóteses de se efectuarem
cálculos apenas com números inteiros aumenta.
Vários
autores hindus referem, nos seus trabalhos, a regra de três e
o procedimento para colocar os números sequencialmente, tais
como
Brahmagupta (c. 598), Sridhara
(c. 750) e Bhaskara II (c. 1114).
Por exemplo, Sridhara, no livro Patiganita, refere
exactamente a regra, tal como foi explicitada:
Na [resolução
de problemas através da] Regra de Três, o argumento e o
que se requer, que são do mesmo tipo, devem ser escritos
no primeiro e último lugar; o fruto, que é de tipo
diferente, deve ser escrito no meio. [Depois de isto ser
feito], a [quantidade do meio] multiplicada pela última
quantidade deve ser dividida pela primeira quantidade.
A regra de três e a teoria das proporções
A Regra de Três tal como descrita pelos matemáticos hindus
não envolve qualquer tipo de conhecimento da teoria das
proporções, mas de facto a regra deriva desta teoria. Smith
(1958) afirma que a regra de três era concebida sem qualquer
sustentação teórica e que apenas mais tarde, por volta do
século XVII os autores europeus passam a relacionar a regra
de três com a proporção, quando os matemáticos começaram a
dar alguma atenção à aritmética comercial.
Na Índia, pelo menos na visão de
Sarma (2002),
tal não parece ter sido o caso. Os matemáticos hindus parece
terem compreendido que a regra de três era um caso de
proporção.
Sarma
fornece vários argumentos para esta ideia, por um lado
no
comentário que Bhaskara faz da regra, enunciada por
Aryabhata, afirma:
Aqui temos a proposição lógica - se por umas tantas
moedas algumas coisas são obtidas, por tantas moedas
quantas coisas podem ser obtidas?
Na
resolução de problemas os matemáticos hindus tinham a
preocupação de explicar a lógica que estava por detrás da
aplicação da regra de três.
Outro dos argumentos fornecidos por Sarma é o facto de
Bhattotpala, astrónomo hindu do século X, ter afirmado que
as proporções são denominadas a matemática da Regra de Três.
A regra de três
entre os Árabes
Não se
sabe se a regra de três foi transmitida aos árabes via os
hindus, tal como aconteceu com muitos outros conhecimentos
matemáticos. Parece que não tinham, tal como os Hindus,
nenhuma designação especial para ela. O matemático árabe
Al-Karajy (c.953-c.1029) refere-se a ela simplesmente por
"multiplicação e divisão" (Horup, 2007).
Al-Khwarizmi (c. 780- c. 850) refere que os problemas que
envolvem transacções comerciais, compreendem sempre duas
noções e quatro números: medida e preço e quantidade e soma
(Rosen, 1986). Os quatro número que refere estão em
proporção,
"o número que
expressa a medida é inversamente proporcionado ao número
que expressa a soma e o número do preço inversamente
proporcionado ao da quantidade. Três destes números são
sempre conhecidos, e isto está implícito quando uma
pessoa diz quanto? E este é o objecto da
questão....Depois multiplica estes dois números em
proporção um pelo outro e divide pelo terceiro, o que
lhe está proporcionado com este é desconhecido. O
quociente desta divisão é o número desconhecido, ...e é
inversamente proporcionado ao divisor".
(Rosen, 1986,
p. 68).
Pode-se
resumidamente transcrever para linguagem simbólica a
descrição da regra de al-Kharizmi, sendo a, b e A, B tais
que a : b = A : B então a = bA/B e b = aB/A.
A grande diferença da regra de al-Kharizmi para a regra tal
como descrita pelos matemáticos Hindus é que neste caso não
há qualquer dúvida que este matemático compreendia a
necessidade de as quantidades envolvidas nos problemas terem
de estar em proporção, caso contrário a regra não se poderia
aplicar.
Vários matemáticos árabes referem-se à regra sem nunca a
designarem, fazendo ênfase na questão da semelhança
das magnitudes duas a duas. A seguinte é a versão de
Al-Karajy, citada por Horup, 2007:
Descobres a
quantidade desconhecida multiplicando uma das magnitudes
conhecidas, por exemplo a soma ou a quantidade, pela que
não lhe é semelhante, nomeadamente pela medida ou pelo
preço, e dividindo o resultado pela magnitude do mesmo
tipo.
Ibn al-Banna, matemático árabe do século
XIII, também enfatiza a diferença das magnitude, mas não
refere que a terceira é "do mesmo tipo".
Al-Qalasadi, matemática árabe do século XV, refere-se do
seguinte modo relativamente à regra, fazendo uma referência
nítida à proporção, mas sem comentar a semelhança ou não das
magnitudes:
Se um dos
extremos é desconhecido, descobre-se o produto dos meios
e divide-se o resultado pelo extremo conhecido. E
similarmente, se um dos meios é desconhecido,
multiplica-se os extremos e divide-se o resultado a que
se chegou pelo meio que é conhecido.
(Horup, 2007,
p.6)
Não parece que
os textos árabes discutam a versão hindu de colocar os
números por ordem (Sarma, 2002), mas tal parece não ter sido
necessário, uma vez que todos discutiam a questão de os
números estarem em proporção, o que automaticamente os
colocavam na ordem da respectiva proporção (a : b :: A : B).
Contudo, al-Biruni, matemático árabe do século X-XI, que se
sabe ter viajado pela Índia, arranjava os termos da
proporção verticalmente
(Sarma, 2002),
ou seja, de uma forma era muito semelhante ao que
fazemos hoje em dia, mas que nada tinha a ver com a forma
como os matemáticos Hindus faziam.
A regra de três
na Europa
Página criada
em 02-03-2008
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